Alice e Bob…
[Cinquantacinquesima puntata]
Gli esperti di crittografia hanno il vezzo di illustrare la logica dei vari sistemi in uso, attraverso la proposizione di alcuni problemini che hanno come protagonisti due personaggi denominati, per convenzione: Alice e Bob (A e B). Uno dei più noti è il seguente.
«Bob vuole inviare un oggetto a Alice. È un oggetto privato e non deve essere aperto da nessuno se non da lei. Decide di spedirlo in una scatola di metallo, ma l’unico modo per chiuderla è di usare un lucchetto. Scambiarsi le chiavi sarebbe troppo pericoloso. Entrambi dispongono solo di lucchetti. Come può Bob essere sicuro che la scatola possa essere aperta solo da Alice?».
In omaggio ai due virtuali protagonisti della moderna scienza crittografica, è stato chiamato Alice&Bob un supplemento rivolto agli studenti delle scuole superiori, allegato alla rivista trimestrale, Lettera Matematica, edita dal «Centro Eleusis» dell’Università Bocconi (Viale Isonzo, 25 – 20135 Milano MI; tel.: 02/58365618; http://matematica.unibocconi.it).
Questo periodico intende presentare una matematica moderna che non si riduca a puro calcolo o a semplice tecnica, ma che, con i suoi modelli e le sue applicazioni, riesca a insinuarsi nelle pieghe della vita quotidiana.
Dato che il «Centro Pristem» è l’organismo responsabile delle selezioni italiane per i Campionati Internazionali di giochi matematici, non a caso, Alice&Bob contiene una rubrica di giochi matematici, ricca di problemi stimolanti. Qui di seguito, ne riporto un paio di esempi, tratti dai primi numeri. Provate a risolverli.
- Adriano, Beatrice, Claudia, Domenico ed Emanuela partecipano a una tombola ed estraggono, da un cappello, una carta tra dodici numerate da 1 a 12. Ogni numero corrisponde a un premio. Ciascuno dei cinque amici estrae due carte, ma per complicare un po’ il gioco, al momento di svelare i numeri che la sorte gli ha attribuito, ciascuno indica agli altri solo la somma dei due numeri: Adriano 11, Beatrice 4, Claudia 16, Domenico 7, Emanuela 19. Quali numeri ha estratto ciascuno di loro?
- L’auto di Luca è stata immatricolata in un dipartimento francese, contraddistinto da un numero di due cifre. La somma delle cifre è uguale alla differenza tra 94 (dipartimento di Val-de-Marne) e il numero del dipartimento di Luca. Qual è questo numero?
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- Beatrice, può aver ottenuto la somma 4, solo pescando: 1 e 3. Di conseguenza, i numeri di Domenico (somma 7) possono essere stati solo: 2 e 5, quelli di Adriano (somma 11): 4 e 7, quelli di Claudia (somma 16): 6 e 10 e quelli di Emanuela (somma 19): 8 e 11. I numeri 9 e 12, evidentemente, non sono stati estratti.
- Se si indica il numero da trovare con: 10D+U (con D e U, interi e minori di 10), si può impostare la seguente relazione:
94–(10D+U) = D+U
da cui si può ricavare:
D = (94–2U)/11
Sicome D deve corrispondere a un numero intero, (94–2U) deve essere un multiplo di 11; quindi, si deve avere: U = 3 (e di conseguenza, D = 8).
L’auto di Luca, in definitiva, è stata immatricolata nel dipartimento numero 83 (dipartimento del Var).
Ah, dimenticavo… Lo scambio segreto può avvenire nel seguente modo.
– Bob chiude la scatola con un lucchetto e la invia ad Alice.
– Alice chiude la scatola con un altro lucchetto e la rispedisce a Bob.
– Bob rimuove il proprio lucchetto e rispedisce la scatola ad Alice.
– Alice riceve la scatola (ora protetta solo dal lucchetto apposto da lei) e la apre con facilità.
– Nei vari tragitti effettuati, nessun altro può essere stato in grado di aprire la scatola, dato che non ci sono stati scambi di chiavi.
