[Settantacinquesima puntata]

Nell’insegnamento della Matematica, il ricorso al gioco consente di affrontare in maniera piacevole la soluzione di problemi di varia complessità. Nello specifico, può risultare molto efficace l’esecuzione di alcuni giochi di prestigio basati su principi matematici. L’innata attrazione verso tutto ciò che appare magico, insieme all’istintivo desiderio di voler svelare il mistero, dovrebbe spingere gli spettatori ad analizzare a fondo i ragionamenti che servono a spiegare i vari trucchi proposti.

Ogni semplice proprietà algebrica può prestarsi all’ideazione di un gioco di magia matematica, purché si riesca a celarla in maniera adeguata. È preferibile, ovviamente, che questa sia poco conosciuta e che, soprattutto, consenta di ottenere un determinato risultato, senza richiedere l’effettuazione di complessi calcoli mentali. 

In linea con tali presupposti, può venire sfruttata egregiamente la seguente formula che permette di ricavare il prodotto di due numeri, come differenza di due quadrati:

XY = [(X+Y)2–(X–Y)2]/4

Come si può leggere nel libro di Giuseppe Peano, Giochi di aritmetica e problemi interessanti (Paravia, Torino 1925), una proprietà del genere era nota già a Euclide, che l’aveva riportata nei suoi Elementi (libro II, proposizione 5). Si può verificare, però, che attualmente non è di comune conoscenza. 

Un gioco basato su tale principio, può essere effettuato con le seguenti modalità.

Consegnate a ciascuno dei vostri spettatori un foglio di carta quadrettata e una penna; poi, fornite loro le seguenti istruzioni collettive (specificando che ognuno dovrà eseguirle in maniera indipendente, senza consultarsi con gli altri):

a) tracciate sul foglio il perimetro di un rettangolo, in modo da racchiudere un numero intero di quadretti; 

b) contate il numero di quadretti che si trovano lungo il lato maggiore del rettangolo (ad esempio: 7); nel seguito, per sinteticità, chiameremo X questo numero;

c) contate il numero di quadretti che si trovano lungo il lato minore del rettangolo (ad esempio: 5); nel seguito, per sinteticità, chiameremo Y questo numero;

d) addizionate X a Y ed elevate al quadrato la somma ottenuta (7+5 = 12; 122 = 144);

e) sottraete Y da X ed elevate al quadrato la differenza ottenuta (7–5 = 2; 22 = 4);

f) sottraete il risultato così ottenuto da quello ricavato al passo precedente (144–4 = 140).

Chiedete a uno spettatore di comunicarvi il valore finale che ha ottenuto e sarete in grado di individuare, in pochi secondi, il numero di quadretti contenuti all’interno del rettangolo da lui tracciato, ovvero il prodotto tra X e Y (nel nostro caso: 7×5 = 35).

Potete replicare questa stessa performance, con quanti altri spettatori vorrete…

Per ricavare la quantità di quadretti contenuti all’interno del rettangolo tracciato dallo spettatore, dovete semplicemente dividere per 4 il valore che vi ha comunicato (nel nostro caso: 140/4 = 35). 

Se tutti i calcoli sono stati effettuati bene, una tale divisione non deve generare resto.

Provate a spiegare il principio su cui si basa questo trucco (e di conseguenza, il  motivo per cui è valida la relativa formula di Euclide).