[Trentottesima puntata]

 

Secondo un singolare teorema di matematica alternativa, il prodotto tra due numeri di due cifre, non cambia se si invertono entrambe le coppie di cifre. Ad esempio:

13×62 = 31×26 = 806

12×63 = 21×36 = 756

14×82 = 41×28 = 1148

23×96 = 32×69 = 2208

e così via…

Ovviamente, questa regola ammette… alcune eccezioni. 

Ma l’individuazione di tutte le coppie di numeri di due cifre che, invece, la rispettano correttamente, può costituire un bel problema da affrontare. 

Al fine di una tale ricerca, bisogna tener presente che i numeri di due cifre (compresi tra 10 e 99) sono novanta, ma che da questi possono essere esclusi:

– i nove multipli di 10, in quanto se vengono invertiti, forniscono un numero di una sola cifra significativa (ad esempio: 30 ? 03);

– i nove numeri composti da due cifre uguali, i quali non soddisfano il teorema, se vengono abbinati a un numero con due cifre diverse (ad esempio: 11×35 ≠ 11×53), mentre lo soddisfano in maniera banale, se vengono abbinati a uno con due cifre uguali (ad esempio: 22×55 ≠ 22×55). 

L’insieme dei numeri da analizzare è costituito, quindi, da: 90–18 = 72 elementi. Ognuno di questi numeri può essere abbinato a un altro numero dello stesso insieme, tranne:

– il numero stesso, perché in questo caso il teorema non verrebbe soddisfatto (ad esempio 34×34 ≠ 43×43);

– il numero stesso a cifre invertite, perché in questo caso il teorema verrebbe soddisfatto in maniera banale (ad esempio: 26×62 = 62×26).

I possibili accoppiamenti sarebbero, quindi: 72×70 = 5.040, ma questo valore deve essere dimezzato, per scartare tutte le situazioni simmetriche (ad esempio: 24×32 e 32×24). 

Pur avvalendosi, di una calcolatrice elettronica, 2.520 casi da analizzare sono, comunque, abbastanza. Si può, però, impostare un ragionamento matematico che rende più agevole tale ricerca. Chiamando X ed Y rispettivamente, le cifre delle decine e delle unità del primo numero, e Z e T quelle del secondo, perché si verifichi il caso che interessa, bisogna imporre: 

(10X+Y)(10Z+T) = (X+10Y)(Z+10T). 

Risolvendo e semplificando, si trova: XZ = YT. 

Se si analizza questa relazione, tenendo presente che i valori delle quattro incognite devono essere compresi tra 1 e 9, si può arrivare a verificare che le soluzioni possibili sono solo le seguenti quattordici:

1×4 = 2×2 = 4

1×6 = 2×3 = 6

1×6 = 3×2 = 6

1×8 = 2×4 = 8

1×8 = 4×2 = 8

1×9 = 3×3 = 9

2×6 = 3×4 = 12

2×6 = 4×3 = 12

2×8 = 4×4 = 16

2×9 = 3×6 = 18

2×9 = 6×3 = 18

3×8 = 4×6 = 24

3×8 = 6×4 = 24

4×9 = 6×6 = 36

Utilizzando opportunamente tali valori, si può ricostruire facilmente il seguente prospetto che (a meno di simmetrie) fornisce la soluzione completa del problema proposto:

12×42 = 21×24 = 504

12×63 = 21×36 = 756

13×62 = 31×26 = 806

12×84 = 21×48 = 1008

14×82 = 41×28 = 1148

13×93 = 31×39 = 1209

23×64 = 32×46 = 1472

24×63 = 42×36 = 1512

24×84 = 42×48 = 2016

23×96 = 32×69 = 2208

26×93 = 62×39 = 2418

34×86 = 43×68 = 2924

36×84 = 63×48 = 3024

46×96 = 64×69 = 4416

 

È interessante notare come alcune di queste coppie di fattori ribaltabili presentino anche altre singolari caratteristiche. 

In particolare, quella che fornisce il prodotto di valore più basso (12×42 = 21×24 = 504) gode di una curiosa proprietà che, invece, tutte le altre non rispettano. Di quale proprietà si tratta?