[centododicesima puntata]

La Matematica costituisce, indubbiamente, una delle principali conquiste del pensiero umano. Però, se i suoi strumenti non vengono maneggiati con criterio, si può correre il rischio di ottenere dei risultati del tutto inattendibili. I seguenti esempi mettono in luce come, effettuando dei passaggi algebrici apparentemente ineccepibili (ma solo apparentemente…), si possa arrivare a delle conclusioni completamente strampalate.

1. Ogni numero è uguale al proprio doppio.

– Scegliamo un numero reale qualsiasi A, diverso da zero, e poniamo la relazione: A = B;

– moltiplichiamo per A entrambi i membri dell’uguaglianza: A2 = AB;

– sottraiamo B2 da entrambi i membri: A2–B2 = AB–B2;

– scomponiamo in fattori il primo membro: (A–B)(A+B) = AB–B2;

– mettiamo in evidenza B nel secondo membro: (A–B)(A+B) = B(A–B);

– dividiamo per (A–B) entrambi i membri: A+B = B;

– sostituiamo A a B (dato che hanno lo stesso valore): A+A = A;

– in definitiva, otteniamo: 2A = A.

2. Ogni numero è uguale a un qualsiasi altro numero.

– Scegliamo due numeri reali qualsiasi, A e B (con A ≠ B), tali che: A = B+C;

– moltiplichiamo per (A–B ) entrambi i membri: A(A–B) = (B+C)(A–B); 

– da cui: A2–AB = AB+AC–B2–BC;

– spostiamo AC al primo membro: A2–AB–AC = AB–B2–BC;

– mettiamo in evidenza A al primo membro: A(A–B–C) = AB–B2–BC;

–  mettiamo in evidenza  B al secondo membro: A(A–B–C) = B(A–B–C);

– dividiamo entrambi i membri per (A–B–C): A = B.

3. Ogni numero diverso da zero, è uguale a zero.

– Scegliamo un numero reale qualsiasi A ≠ 0 e poniamo: A = B−C (con B ≠ C);

– moltiplichiamo per (B−C) entrambi i membri: A(B−C) = (B−C)(B−C);  

– da cui, ricaviamo: AB−AC = B2−BC−BC+C2;

– spostiamo −AC dal primo al secondo membro: AB = B2−BC−BC+C2+AC;

– spostiamo B2−BC dal secondo al primo membro: AB−B2+BC = AC−BC+C2;

– mettiamo in evidenza B al primo membro: B(A−B+C) = AC−BC+C2;

– mettiamo in evidenza C al secondo membro: B(A−B+C) = C(A−B+C);

– dividiamo entrambi i membri per (A−B+C):  B = C;

– da cui, ricaviamo: B−C = 0 e, quindi: A = 0.