Il numero 142857, che coincide con il periodo generato dall’inverso del numero 7 (1/7 = 0,142857),
è molto noto tra i cultori di matematica ricreativa per le sue proprietà singolari.
In particolare, se viene moltiplicato per un valore compreso tra 1 e 6, genera un numero composto dalle medesime cifre, disposte ciclicamente nello stesso ordine:
Le caratteristiche di questo numero si prestano alla confezione di alcuni divertenti giochi di magia matematica, come quello illustrato nel seguito.
Modalità di esecuzione
– Scrivete all’interno di una striscia di carta il numero 142857, distanziando una cifra dall’altra (compresa l’ultima e la prima) con la medesima spaziatura.
– Incollate le estremità di questo striscia; schiacciate leggermente l’anello che si è venuto così a formare e ponetelo all’interno di un cappello o di un sacchetto.
– Annunciate che, grazie ai vostri poteri magici, all’interno di quell’anello avete potuto scrivere il risultato che scaturirà, dopo un paio di operazioni assolutamente casuali.
– Chiedete ai vostri spettatori di pensare a un numero dispari, compreso tra 1 e 10 e di dirlo ad alta voce; statisticamente, la maggior parte di loro sceglierà il numero 7 (se, malauguratamente, ciò non dovesse avvenire, dovete rapidamente escogitare un altro valido criterio, per forzare il numero 7…).
– Aiutandovi con una calcolatrice elettronica, determinate l’inverso del numero che è stato scelto spontaneamente dal pubblico (di fatto, dovete calcolare: 1/7); trascrivete, poi, su un foglio le prime sei cifre dello sviluppo decimale ottenuto (in pratica, dovete scrivere: 142857).
– Porgete allo spettatore un comune dado a sei facce e chiedetegli di lanciarlo; invitatelo, poi, a moltiplicare il valore così ottenuto, per numero che avevate scritto prima sul foglio
– Siccome i punti di un dado sono compresi tra 1 e 6, il risultato di questa moltiplicazione sarà sicuramente un numero composto dalle cifre 1, 4, 2, 8, 5, 7, disposte in maniera ciclica.
– Recuperate il vostro anello di carta e strappatelo nel punto che separa la prima e l’ultima cifra del prodotto risultante.
– Mostrate al pubblico il numero che appare sulla vostra striscia e fate notare che coincide esattamente con il risultato della moltiplicazione effettuata dallo spettatore, meritandovi un applauso di vivo stupore.
[NDR – Mi sono imbattuto in un divertente video di Michele Molteni ed ho chiesto ad Ennio Peres il quesito sul famoso tema del dollaro mancante]
In Matematica, è possibile imbattersi in alcune affermazioni apparentemente incredibili (perché contrastano con la nostra immediata perspicacia), che possono, però, essere dimostrate come vere, mediante ragionamenti rigorosi.
Alcune di queste attestazioni matematiche (che vengono comunemente definite: paradossi), non trovano riscontro nella realtà, o perché necessitano di un elevato numero di prove per essere accertate, o perché coinvolgono il concetto di infinito. Ma esistono anche delle verità matematiche che, pur riguardando insiemi finiti e pur essendo facilmente computabili, forniscono ugualmente delle informazioni apparentemente assurde.
Bisogna tener presente, però, che il termine paradosso, viene impropriamente utilizzato, piuttosto comunemente, anche per definire un’affermazione che appare incredibile, semplicemente perché scaturisce da un ragionamento errato (ma che, ingannevolmente, sembra corretto).
In un caso del genere, si dovrebbe parlare più correttamente di sofisma, se l’inganno logico è intenzionale, e di paralogismo, se invece è involontario.
Un classico esempio di raffinato sofisma, che continua a fare effetto, a distanza di più 76 anni dalla sua prima proposizione è il seguente, ideato dal matematico statunitense, Eugene P. Northrop, che lo ha pubblicato nel libro: Riddles in Mathematics (1944).
Il paradosso del dollaro scomparso
Tre amici si recano al ristorante. Quando hanno terminato di mangiare, il cameriere presenta loro un conto di 30 dollari; ovvero: 10 dollari a testa.
I tre protestano, giudicando la somma troppo alta, ma alla fine accettano di pagare. Il cameriere riferisce la loro lamentela al padrone del ristorante e questo, per quieto vivere, gli consegna 5 dollari, da rendere ai tre clienti. Ma il cameriere (mariuolo…) si mette in tasca 2 dollari e restituisce solo 3 dollari. In pratica, i tre amici finiscono per pagare 27 dollari; ovvero: 9 dollari a testa. Aggiungendo i 2 dollari trafugati dal cameriere, la spesa totale ammonta a 29 dollari.
Se si accetta acriticamente l’impostazione del calcolo finale fornita dall’enunciato, questo problema (un capolavoro, nel suo genere) sembra proprio inestricabile.
In realtà, i 2 dollari trafugati dal cameriere mariuolo sono già compresi nei 27 spesi dai tre amici e non devono essere ulteriormente conteggiati.
Per far tornare i conti, bisogna semplicemente sommare ai 27 dollari spesi (25 per il pranzo e 2 per il cameriere) i 3 riavuti indietro: 27+3 = 30.
Nota – Per risolvere problemi del genere, bisogna riuscire a vincere il timore reverenziale nei confronti dell’enunciato e ardire a contestarne l’impostazione…
Scndo ua prstgsa unvrstà amrcna, si pò intrprtre crrtamnte il cntnto di un qlssi tsto prvo di dvrse lttre, prchè in ogi prla rstino invrte la lttra inzle e qulla fnle.
Se siete riusciti a interpretare correttamente il testo precedente, avete contribuito a confermare la teoria della, non meglio precisata, prestigiosa università americana in questione.
Ma avete dimostrato anche di avere le capacità, per affrontare il seguente, particolare gioco linguistico.
Da ognuna delle seguenti successioni di consonanti, cercate di risalire a un popolare proverbio, inserendo delle opportune vocali, oltre a eventuali apostrofi, accenti e virgole.
Ad esempio: RDBNCHRDLTM ? RIDE BENE CHI RIDE ULTIMO
1. Il tempo è denaro – 2. Chi cerca trova – 3. Donne e buoi dei paesi tuoi – 4. Il troppo stroppia – 5. Non c’è due senza tre – 6. Chi fa da sé fa per tre – 7. Il riso fa buon sangue – 8. L’apparenza inganna – 9. Can che abbaia non morde – 10. Se non è zuppa, è pan bagnato – 11. Acqua passata non macina più – 12. Ambasciatore non porta pena – 13. Chi dorme, non piglia pesci – 14. Ogni medaglia ha il suo rovescio – 15. Chi va piano va sano e va lontano – 16. A mali estremi estremi rimedi – 17. L’eccezione conferma la regola – 18. Chi trova un amico, trova un tesoro – 19. Non si muove foglia che dio non voglia – 20. A caval donato, non si guarda in bocca
La Matematica costituisce, indubbiamente, una delle principali conquiste del pensiero umano. Però, se i suoi strumenti non vengono maneggiati con criterio, si può correre il rischio di ottenere dei risultati del tutto inattendibili. I seguenti esempi mettono in luce come, effettuando dei passaggi algebrici apparentemente ineccepibili (ma solo apparentemente…), si possa arrivare a delle conclusioni completamente strampalate.
Ogni numero è uguale al proprio doppio.
– Scegliamo un numero reale qualsiasi A, diverso da zero, e poniamo la relazione: A = B;
– moltiplichiamo per A entrambi i membri dell’uguaglianza: A2 = AB;
– sottraiamo B2 da entrambi i membri: A2–B2 = AB–B2;
– scomponiamo in fattori il primo membro: (A–B)(A+B) = AB–B2;
– mettiamo in evidenza B nel secondo membro: (A–B)(A+B) = B(A–B);
– dividiamo per (A–B) entrambi i membri: A+B = B;
– sostituiamo A a B (dato che hanno lo stesso valore): A+A = A;
– in definitiva, otteniamo: 2A =A.
Ogni numero è uguale a un qualsiasi altro numero.
– Scegliamo due numeri reali qualsiasi, A e B (con A ≠ B), tali che: A = B+C;
– moltiplichiamo per (A–B ) entrambi i membri: A(A–B) = (B+C)(A–B);
– da cui: A2–AB = AB+AC–B2–BC;
– spostiamo AC al primo membro: A2–AB–AC = AB–B2–BC;
– mettiamo in evidenza A al primo membro: A(A–B–C) = AB–B2–BC;
– mettiamo in evidenza B al secondo membro: A(A–B–C) = B(A–B–C);
– dividiamo entrambi i membri per (A–B–C): A = B.
Ogni numero diverso da zero, è uguale a zero.
– Scegliamo un numero reale qualsiasi A ≠ 0 e poniamo: A = B−C (con B ≠ C);
– moltiplichiamo per (B−C) entrambi i membri: A(B−C) = (B−C)(B−C);
– da cui, ricaviamo: AB−AC = B2−BC−BC+C2;
– spostiamo −AC dal primo al secondo membro: AB = B2−BC−BC+C2+AC;
– spostiamo B2−BC dal secondo al primo membro: AB−B2+BC = AC−BC+C2;
– mettiamo in evidenza B al primo membro: B(A−B+C) = AC−BC+C2;
– mettiamo in evidenza C al secondo membro: B(A−B+C) = C(A−B+C);
Uno degli errori più insidiosi che possano essere commessi, svolgendo dei passaggi algebrici, consiste nel dividere, distrattamente, un numero reale per zero. Le false dimostrazioni proposte si basano tutte sull’effettuazione, non palese, di una divisione per zero. Analizziamole, caso per caso.
Essendo: A = B, è anche: A–B = 0. Di conseguenza, quando abbiamo diviso entrambi i membri dell’uguaglianza per (A–B), li abbiamo divisi per zero.
Essendo: A = B+C, è anche: A–B–C = 0. Di conseguenza, quando abbiamo diviso entrambi i membri dell’uguaglianza per (A–B–C), li abbiamo divisi per zero.
Essendo:A = B−C, è anche: A–B+C = 0. Di conseguenza, quando abbiamo diviso entrambi i membri dell’uguaglianza per (A–B+C), li abbiamo divisi per zero.
L’effetto comico indotto da un doppio senso linguistico, può essere sfruttato nell’elaborazione di classiche storielle. Ma, in maniera più sintetica, può essere legato una domanda stravagante posta insieme alla relativa risposta. Gli esempi qui di seguito riportati, abitualmente catalogati come freddure (per l’effetto raggelante che producono…), mettono in evidenza come, in casi del genere, la domanda ha il compito di preparare il terreno alla contrapposizione tra due potenziali significati, mentre l’esposizione del doppio senso a cui devono riferirsi, compare solo nella risposta.
– Perché il tempo fugge? Perché i musicisti lo battono.
– Qual è il colmo per un fantasma?Farsi vivo ogni tanto.
– Qual è il colmo per un editore? Regalare alla moglie delle collane economiche.
– Qual è il colmo per un professore di geografia? Vedere un fiume seguire il suo corso.
– Come è possibile attraversare la giungla senza correre rischi? Camminando sulle zebre.
– Perché i bambini degli Urali si divertono molto? Perché stanno sempre sulle montagne russe.
Da quanto appena esposto è evidente che, se il propositore di una freddura concedesse al proprio interlocutore il tempo di trovare una risposta adeguata, invece di una spiritosaggine, in pratica, finirebbe per sottoporgli un indovinello.
Per la loro estrema sinteticità è, in genere, piuttosto difficile riuscire a rispondere esattamente a quesiti così congeniati. Una variante della freddura, che si presta maggiormente ad essere utilizzata sotto forma di indovinello, è costituito dalla cosiddetta domanda bizzarra. Gli esempi proposti qui di seguito, mettono in luce come, in questi casi, il doppio senso sfruttato compare direttamente nella frase interrogativa. Provate a risolverli tutti…
Qual è quella cosa che è sempre scoperta, anche quando è coperta?
Chi è che, più lavora, e più riposa?
Qual è quella cosa che è sempre piccola, anche quando è grande?
Quale oggetto resta sempre fermo, anche quando è in movimento?
Quale tipo di dono, più è gradito, più viene rifiutato?
Qual è quella cosa che è sempre bagnata, anche quando è asciutta?
Qual è quella cosa che, più è sterminata, e meno è sterminata?
Quali sono quelle cose che, più vengono rilasciate, e più vengono riprese?
Qual è quella cosa che può avere un gran valore, anche quando è oggettivamente scadente?
Chi è sempre trasandato, anche quando è ricercato?
Mentre i testi degli indovinelli di stampo antico, si basano essenzialmente su una serie di figurazioni metaforiche, quelli di stile più moderno sono prevalentemente costituiti da un abile intreccio di doppi sensi linguistici. Si esamini, ad esempio, il seguente, emblematico indovinello (composto da Il Mancino).
La nonna
Lavora d’ago fino a mezzanotte
per aggiustare le mutande rotte.
Il testo di questo gioco sembra descrivere l’operato di una solerte vecchina; se lo si rilegge sotto un’altra angolatura, però, si può arrivare a scoprire che, in realtà, allude a: «la bussola». Infatti, come è noto, la bussola possiede un ago che punta verso il polo Nord (detto anche mezzanotte) ed è in grado di correggere (aggiustare) le rotte delle navi, che mutano durante la traversata (le mutande rotte).
È bene sottolineare che tale genere di indovinelli, si presta sempre a una duplice lettura: una più immediata, tesa a far risaltare un fuorviante soggetto apparente, e un’altra più nascosta, relativa al soggetto reale da scoprire. Il titolo, in particolare, assume il preciso compito di favorire un’istintiva, falsa interpretazione dell’enunciato. Di conseguenza, se si desidera risolvere un indovinello, eludendo nel modo più rapido possibile tutti i suoi insidiosi trabocchetti, è buona norma evitare di leggerne il titolo…
Abitualmente, la proposizione di un indovinello non viene abbinata a un diagramma numerico (come nella maggior parte degli altri giochi enigmistici). Questo avviene perché la sua soluzione può anche non essere univocamente determinata da una o più parole. Ad esempio, un indovinello che ha come soluzione: «il cibo », può essere risolto anche con: «l’alimento», «il nutrimento», ecc. È evidente che tutte queste potenziali soluzioni, non possono essere indicate da un unico diagramma numerico.
Qui di seguito, sono riportati quattro significativi esempi di indovinelli moderni, presi dal repertorio enigmistico (accanto a ciascun titolo, è riportato lo pseudonimo del relativo autore).
Il Pi greco (indicato con il simbolo π) è una costante matematica che è definita come il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro.
È un numero trascendente, con infinite cifre decimali non periodiche, la cui successione sembra sfuggire a qualsiasi regola.
Pi greco = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944
(prime 60 cifre decimali)
Fino ad oggi state calcolate al computer 50 miliardi di cifre di Pi greco e siamo solo all’inizio (perché la successione è infinita…).
Il Pi greco è un numero irrazionale che non è soluzione di alcuna equazione algebrica a coefficienti razionali, ma che compare come limite di molti procedimenti infiniti. Leibniz, ad esempio, trovò la prima serie numerica per il calcolo di Pi greco: 4 (1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 …).
Una prima approssimazione del valore di Pi greco fu proposta da Archimede e corrisponde alle cifre che si ottengono dividendo 22 per 7. Per questo motivo, in alcuni Paesi la festa del Pi greco viene celebrata il 22 luglio (22/7).
L’approssimazione di Archimede consente di effettuare il seguente sorprendente gioco di magia matematica.
Scrivete un numero naturale X, a vostra scelta (ad esempio: 9).
Moltiplicate per 11 questo numero (9×11 = 99).
Raddoppiate il prodotto ottenuto (99×2 = 198).
Utilizzando una calcolatrice, dividete per 7 questo nuovo valore (198/7 = 28,2857…).
Approssimate alle prime due cifre decimali il quoziente risultante (28,28) e dividetelo per il numero che avevate scelto all’inizio (9); otterrete sicuramente 3,14 come risultato, indipendentemente dal numero scelto all’inizio:
28,28/9 = 3,14…
Nel 1988, all’Exploratorium, il celebre Museo della Scienza di San Francisco, per iniziativa del fisico Larry Shaw, si tenne la prima celebrazione del Pi greco. Venne scelta lo data del 14 marzo, dato che, nella notazione anglosassone (3/14) richiama l’approssimazione a tre cifre di Pi greco).
Per una felice coincidenza, il 14 marzo è anche l’anniversario della nascita di Albert Einstein (14 marzo 1879).
In quell’occasione, vennero organizzati un corteo circolare attorno ad uno degli edifici del museo e la vendita di torte alla frutta, decorate con le cifre decimali del pi greco.
Da allora, nella stessa data, la festa si ripete ogni anno in numerose scuole, università e istituzioni scientifiche di tutto il mondo.
È interessante notare che esiste anche il minuto Pi greco, che sulla base dello sviluppo decimale troncato alla settima cifra (3,145826). cade alle ore: 1h 59’ 26” del 14 marzo.
Il 12 marzo 2009 la Camera dei rappresentanti degli Stati Uniti d’America ha approvato la Risoluzione H. Res. 224, con la quale sostiene la designazione del Pi Day e la sua celebrazione in tutto il mondo, allo scopo di promuovere e incoraggiare lo studio della Matematica.
Il 14 marzo 2010 Google rese omaggio alla giornata del pi greco con una versione artistica del proprio logo.
In Italia la promozione e diffusione del giorno del pi greco nelle scuole si deve soprattutto all’impegno del Politecnico di Torino che da alcuni anni organizza in tale data importanti iniziative a cura del Progetto Polymath.
Analoghe celebrazioni avvengono anche in comunità virtuali come Second Life e Facebook.
Per conoscere i programmi delle varie iniziative indette in tutto il mondo e per poter consultare un’ampia selezione di siti dedicati al Pi greco, ci si può collegare a questo link.
«Gli Amici del Pi Greco – dicono i responsabili dell’Associazione – vanno oltre gli orizzonti della sua irrazionalità, trascendenza e normalità, per chiedersi quale sia il suo valore estetico».
E chi vuole iscriversi al club deve recitare a memoria, in “modo estetico”, le prime cento cifre di Pi greco.
Ma esiste anche il Club dei Mille. Per farne parte bisogna ricordare a memoria almeno mille cifre, poca cosa rispetto al record attuale di memorizzazione del Pi greco che è di 42 mila cifre
Qualche appassionato cultore del Pi greco si è chiesto: «Ma… se le cifre di Pi greco sono infinite, da qualche parte troveremo anche la nona sinfonia di Beethoven… e se sostituiamo invece ai numeri le lettere dell’alfabeto potremo ritrovare la Divina Commedia oppure l’Amleto di Shakespeare…».
Per ora, è stata ritrovata soltanto la celebre frase: TO BE OR NOT TO BE, oltre la miliardesima cifra.
«E se trasformiamo i numeri in pixel di diversi colori, troveremo nascosti nel pi greco tutti quadri del mondo, Il Giudizio Universale di Michelangelo, o la Gioconda di Leonardo…».
Per ora il disegno più bello che è stato trovato, e che è stato battezzato Lady Pi, fa intravedere, con un po’ di fantasia, una donna con un vestito al vento e una mano sulla fronte, che guarda lontano. Non è granché, ma siamo solo all’inizio di questa ricerca curiosa e un po’ folle che richiederà ovviamente… un tempo infinito.
Alcuni sperimentatori si sono contentati di convertire le cifre di Pi greco in una sequenza musicale.
Quella ottenuta non è una successione di suoni disarticolati, ma un’affascinante melodia che sembra riflettere una struttura a noi sconosciuta, interna al pi greco stesso, una melodia che riflette l’infinito.
Se l’avesse conosciuta, Spielberg l’avrebbe sicuramente usata per il suo messaggio musicale, dei terrestri nei loro Incontri ravvicinati del terzo tipo.
Si può ascoltare questo genere di musica, collegandosi ai seguenti link, dove vengono illustrati anche i vari metodi adottati per effettuare la conversione:
∙ L’Universo è un cerchio, il cui centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte (Blaise Pascal).
∙ Il numero Pi greco, correttamente interpretato, contiene l’intera storia dell’Umanità (Martin Gardner) ∙ La faccia di Pi greco era mascherata e si capiva che nessuno avrebbe potuto vederla e restare vivo. Ma dalla maschera usciva uno sguardo penetrante, inesorabile, freddo ed enigmatico (Bertrand Russell)
∙ Qual è ‘l geometra che tutto s’affigge/ per misurar lo cerchio, e non ritrova,/ pensando, quel principio ond’elli indige,/ tal era io a quella vista nova:/ veder volea come si convenne/ l’imago al cerchio e come vi s’indova. (Dante, Paradiso, XXXIII, 133 – 138)
“Niente feste di compleanno, niente giochi di gruppo e scarsi rapporti coi coetanei”
questa è l’istantanea della socialità castrata dei bambini e delle bambine che vivono la loro infanzia in un mondo in cui l’emergenza pandemica da Covid-19 stenta a rallentare.
La reclusione, l’affollamento domestico, il distanziamento, le relazioni con amici e coetanei ridotte a videochiamate e la paura del contagio, ci raccontano quanto sia stato difficile far fronte a quel clima di incertezze e preoccupazioni che purtroppo continuano a scandire le nostre esistenze tra tamponi e focolai.
Divieti e lockdown controllati, infatti, sono ancora parte integrante delle ordinanze che scandiscono il quotidiano delle esperienze mancate ed è proprio così che i più piccoli si trovano ad essere tra i più svantaggiati per diversi motivi.
Crescere in questo particolare momento storico, infatti, configura l’insorgere di gravi lacune di linguaggio, cognitive e di mentalizzazione proprio a causa del venire meno della relazione con l’altro, che invece in un normale processo evolutivo della persona configura uno step essenziale per la maturazione relazionale dell’individuo e come più volte ripetuto.
“Isolare e chiudere” da ormai più di un anno sono le parole d’ordine della guerra fredda a Covid-19.
Ed è così che intere generazioni di bambini e bambine costretti a non andare a scuola se non attraverso uno schermo si sono trovati a vivere in streaming; bambini costretti a non aver paura dei draghi ma di un virus; bambini distanti ma uniti, e quando vicini allontananti per paura di contagi.
Eppure cresceranno anche loro come tutti e chissà come ricorderanno tutto questo…
Cosa sarà rimasto, invece, di quegli attimi di normalità rubata tra abbracci e carezze negate…?
La verità è che siamo tutti figli della deprivazione sociale portata da Covid-19 e forse negli occhi della mente non solo dei più quando tutto questo sarà finito torneranno gli arcobaleni colorati, le canzoni, gli screenshot delle riunioni di famiglia a distanza e per i più fortunati il profumo dalla cucina ogni giorno come fosse domenica…
Durante il Festival International des Jeux di Cannes sono stati resi noti i vincitori del premio As d’Or 2021, il corrispettivo del Gioco dell’Anno italiano o del noto Spiel des Jahres tedesco.
Come per altri premi anche quello francese è diviso in tre categorie di cui riportiamo sotto i vari nominati di quest’anno.
As d’Or Enfants
I nominati della categoria bambini sono:
Detective Charlie di Théo Rivière
Dragomino di Bruno Cathala, Marie Fort e Wilfried Fort (in Itlalia con la Ghenos Games)
Kraken Attack! di Antoine ed Esteban Bauza (edito in Italia da Mancalamaro)
Le Maison des Souris di Élodie Clément e Théo Rivière
As d’Or
Categoria di giochi che definiremmo family che vede nominati:
Carro Combo di Katja Stremmel
Ghost Adventure di Wladimir Watine
Micromacro Crime City di Johannes Sich (portato in Italia da MS Edizioni)
Top Ten di Aurélien Picolet
As d’Or Expert
Per la categoria esperti, invece, i finalisti sono stati:
The Crew di Thomas Sing (in Italia con Giochi Uniti)
The King’s Dilemma di Lorenzo Silva e Hjamar Hach (della casa italiana Horrible Guild)
Paleo di Dominik Mayer (in Italia con Giochi Uniti)
Tainted Grail di Krzysztof Piskorski e Martin Swierkot (portato sempre da Giochi Uniti in Italia)
Infine annunciamo i vincitori che sono stati:
DRAGOMINO per la categoria dei più piccoli che non conosco.
MICROMACRO che ritengo un ottimo ed originale gioco di investigazione su mappa che ha caratteristiche originali ed una gigantesca mappa illustrata piena zeppa di mille particolari.
THE CREW che ripropone in modo fresco e geniale i classici giochi di carte di presa (come la famosa Briscola) in chiave collaborativa nell’arco di una cinquantina di missioni a difficoltà crescente.
Non posso che congratularmi con i vincitori ed essere felice nel notare la presenza di un autore italiano, nonché di numerose localizzazioni, soprattutto ad opera delle Giochi Uniti, che dimostra una grande attenzione verso il grande pubblico del nostro paese.
